Condition d'isomorphisme entre $\mathbb{Z}^n$ et $\mathbb{Z}^p$
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Énoncé
Les groupes $\mathbb{Z}^n$ et $\mathbb{Z}^p$ sont isomorphes si et seulement si $n = p$. -
Démonstration
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Condition suffisante :
Si $n = p$, alors les ensembles $\mathbb{Z}^n$ et $\mathbb{Z}^p$ sont identiques, les deux groupes sont donc trivialement isomorphes. -
Condition nécessaire :
Supposons qu'il existe un isomorphisme de groupes $\varphi : \mathbb{Z}^n \to \mathbb{Z}^p$.
Pour tout entier $k$, l'image du sous-groupe $k\mathbb{Z}^n$ par $\varphi$ est $k\mathbb{Z}^p$. Ainsi, $\varphi$ induit naturellement un isomorphisme entre les groupes quotients : \[ \mathbb{Z}^n / 2\mathbb{Z}^n \simeq \mathbb{Z}^p / 2\mathbb{Z}^p \] Or, par les propriétés du produit direct, on a : \[ \mathbb{Z}^k / 2\mathbb{Z}^k \simeq (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^k \] Le groupe $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^n$ possède une structure d'espace vectoriel sur le corps fini $\mathbb{F}_2$ de dimension $n$. Son cardinal est donc $2^n$. L'isomorphisme des groupes quotients implique l'égalité de leurs cardinaux : \[ 2^n = 2^p \] Puisque $n$ et $p$ sont des entiers naturels, cette égalité entraîne strictement : \[ n = p \]
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Condition suffisante :