Expressions des sommes de Newton $S_2$ et $S_3$
Soient $\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3$ les premières fonctions symétriques élémentaires évaluées en $a_1, a_2, \dots, a_n$.
On rappelle leurs définitions respectives : \[\sigma_1 = \sum_{i=1}^n a_i \quad ; \quad \sigma_2 = \sum_{1 \le i < j \le n} a_i a_j \quad ; \quad \sigma_3 = \sum_{1 \le i < j < k \le n} a_i a_j a_k\]
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Expression de $S_2$ :
On considère le développement du carré de la somme $\sigma_1$ : \[\sigma_1^2 = \left(\sum_{i=1}^n a_i\right)^2 = \sum_{i=1}^n a_i^2 + 2 \sum_{1 \le i < j \le n} a_i a_j\] En identifiant les termes, on obtient : \[\sigma_1^2 = S_2 + 2\sigma_2\] Ce qui donne directement l'expression de $S_2$ : \[S_2 = \sigma_1^2 - 2\sigma_2\] -
Expression de $S_3$ :
La méthode la plus efficace consiste à utiliser les relations de Newton liant les sommes de puissances $S_p$ aux fonctions symétriques élémentaires $\sigma_k$.
Pour $p=3$ (en supposant $n \ge 3$), la relation s'écrit : \[S_3 - \sigma_1 S_2 + \sigma_2 S_1 - 3\sigma_3 = 0\] Sachant que $S_1 = \sigma_1$, on isole $S_3$ et on y injecte l'expression de $S_2$ : \[S_3 = \sigma_1 S_2 - \sigma_2 \sigma_1 + 3\sigma_3\] \[S_3 = \sigma_1 (\sigma_1^2 - 2\sigma_2) - \sigma_1\sigma_2 + 3\sigma_3\] En développant et en regroupant les termes, on aboutit à la formule : \[S_3 = \sigma_1^3 - 3\sigma_1\sigma_2 + 3\sigma_3\]
Remarque : Si $n = 1$ ou $n = 2$, la formule reste parfaitement valable en adoptant la convention standard qui pose $\sigma_k = 0$ pour tout $k > n$.