Polynômes irréductibles de $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}[X]$ jusqu'au degré 5
Un polynôme $P \in \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}[X]$ admet une racine si et seulement si $P(0) = 0$ (le terme constant est nul) ou $P(1) = 0$ (le nombre de termes non nuls est pair).
Ainsi, un polynôme de degré $n \ge 2$ sans racine dans $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ doit obligatoirement posséder un terme constant égal à $1$ et un nombre impair de termes.

  1. Degré 1
    Tous les polynômes de degré 1 sont irréductibles par définition. Il y en a deux : \[X \quad \text{et} \quad X+1\]

  2. Degré 2
    Pour être irréductible, un polynôme de degré 2 ne doit pas avoir de racine. Il doit donc s'écrire sous la forme $X^2 + aX + 1$ et posséder un nombre impair de termes (ici, exactement 3).
    Il y a un unique polynôme irréductible : \[X^2 + X + 1\]

  3. Degré 3
    De même, il suffit qu'un polynôme de degré 3 n'ait pas de racine pour être irréductible. La forme imposée est $X^3 + aX^2 + bX + 1$ avec 3 termes. Il y en a exactement deux : \[X^3 + X + 1 \quad \text{et} \quad X^3 + X^2 + 1\]

  4. Degré 4
    Les polynômes de degré 4 sans racine ont 3 ou 5 termes. Il y a $\binom{3}{1} + \binom{3}{3} = 4$ candidats : \[X^4+X+1, \quad X^4+X^2+1, \quad X^4+X^3+1, \quad X^4+X^3+X^2+X+1\] Un polynôme de degré 4 sans racine est réductible si et seulement s'il est le produit de deux polynômes irréductibles de degré 2. Le seul produit possible dans $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}[X]$ est : \[(X^2+X+1)^2 = X^4 + X^2 + 1\] En excluant ce dernier, il reste 3 polynômes irréductibles de degré 4 : \[X^4 + X + 1, \quad X^4 + X^3 + 1, \quad X^4 + X^3 + X^2 + X + 1\]

  5. Degré 5
    Les polynômes de degré 5 sans racine ont 3 ou 5 termes. En fixant $X^5$ et $1$, il y a $\binom{4}{1} = 4$ polynômes à 3 termes et $\binom{4}{3} = 4$ polynômes à 5 termes, soit 8 candidats au total.
    Un tel polynôme est réductible si et seulement s'il est la factorisation d'un polynôme irréductible de degré 2 et d'un de degré 3. Calculons les deux seuls produits possibles :
    1. $(X^2+X+1)(X^3+X+1) = X^5 + X^4 + 1$
    2. $(X^2+X+1)(X^3+X^2+1) = X^5 + X + 1$

    En excluant ces deux polynômes (qui ont 3 termes), il reste exactement 6 polynômes irréductibles de degré 5 :
    1. $X^5 + X^2 + 1$
    2. $X^5 + X^3 + 1$
    3. $X^5 + X^4 + X^3 + X^2 + 1$
    4. $X^5 + X^4 + X^3 + X + 1$
    5. $X^5 + X^4 + X^2 + X + 1$
    6. $X^5 + X^3 + X^2 + X + 1$