Caractérisation : Les idéaux de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$

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Les idéaux de l'anneau quotient $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ sont en bijection parfaite avec les diviseurs positifs de l'entier $n$.
Plus précisément, ce sont tous des idéaux principaux, de la forme $\bar{d}(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})$ (ou simplement engendrés par la classe de $d$, notés $\langle \bar{d} \rangle$), où $d$ est un diviseur positif de $n$.

• Le théorème de correspondance :

  Soit $\pi : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ la projection canonique. C'est un morphisme d'anneaux surjectif dont le noyau est $\ker(\pi) = n\mathbb{Z}$.
  D'après le théorème de correspondance, les idéaux de l'anneau quotient $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ sont exactement les images directes $\pi(I)$ des idéaux $I$ de $\mathbb{Z}$ qui contiennent le noyau $n\mathbb{Z}$.



• Analyse dans l'anneau principal $\mathbb{Z}$ :

  Puisque $\mathbb{Z}$ est un anneau principal, tout idéal $I$ s'écrit de manière unique sous la forme $I = d\mathbb{Z}$ avec $d \in \mathbb{N}$.
  La condition d'inclusion dans le théorème de correspondance s'écrit : \[n\mathbb{Z} \subset d\mathbb{Z}\] Dans $\mathbb{Z}$, l'inclusion d'un idéal dans un autre équivaut à la relation de divisibilité entre leurs générateurs. Ainsi, $n\mathbb{Z} \subset d\mathbb{Z}$ si et seulement si $d$ divise $n$ ($d \mid n$).



• Conclusion par projection :

  Les idéaux de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ sont donc les images par $\pi$ de ces idéaux $d\mathbb{Z}$ particuliers.
  Pour chaque diviseur positif $d$ de $n$, on obtient l'idéal : \[\pi(d\mathbb{Z}) = d\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} = \{\overline{dk} \mid k \in \mathbb{Z}\} = \langle \bar{d} \rangle\]

Conclusion : L'anneau $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ est un anneau principal (fini). Il possède exactement autant d'idéaux que l'entier $n$ possède de diviseurs dans $\mathbb{N}^*$.