structure de l'ensemble des décimaux $\mathbb{D}$

• 1. $\mathbb{D}$ est-il un sous-anneau de $\mathbb{Q}$ ?

  La réponse est oui. Il suffit de vérifier la caractérisation usuelle d'un sous-anneau :
  
  
  • Élément unité : $1 = \frac{1}{10^0} \in \mathbb{D}$.
  • Stabilité par la différence : Soient $x = \frac{a}{10^n}$ et $y = \frac{b}{10^m}$ dans $\mathbb{D}$. En supposant, sans perte de généralité, que $m \ge n$, on a : \[x - y = \frac{a 10^{m-n} - b}{10^m}\] Le numérateur $a 10^{m-n} - b$ est un entier et le dénominateur est une puissance entière de $10$, d'où $x - y \in \mathbb{D}$.
  • Stabilité par le produit : \[x \times y = \frac{ab}{10^{n+m}}\] Le produit de deux entiers est entier, et $n+m \in \mathbb{N}$, donc $xy \in \mathbb{D}$.
  
  L'ensemble $\mathbb{D}$ est donc bien un sous-anneau de $\mathbb{Q}$.



• 2. $\mathbb{D}$ est-il un sous-corps de $\mathbb{Q}$ ?

  La réponse est non. L'anneau $\mathbb{D}$ n'est pas un corps car il n'est pas stable par passage à l'inverse.
  
  Considérons l'élément $3$, qui appartient bien à $\mathbb{D}$ (puisque $3 = \frac{3}{10^0}$).
  S'il était inversible dans $\mathbb{D}$, son inverse usuel $\frac{1}{3}$ devrait appartenir à $\mathbb{D}$. Il existerait alors $a \in \mathbb{Z}$ et $n \in \mathbb{N}$ tels que : \[\frac{1}{3} = \frac{a}{10^n}\] Ce qui implique : \[10^n = 3a\] D'après cette égalité, $3$ diviserait $10^n$. Or, par le théorème fondamental de l'arithmétique, la décomposition en facteurs premiers de $10^n$ est $2^n \times 5^n$, qui ne contient aucun facteur $3$. absurde!
  
  $\mathbb{D}$ n'est pas un sous-corps de $\mathbb{Q}$.