Caractérisation des groupes n'admettant que les sous-groupes triviaux
Les groupes dont les seuls sous-groupes sont $G$ et $\{e\}$ sont exactement les groupes finis d'ordre premier (qui sont par conséquent cycliques).

Démonstration :
  • Condition nécessaire : Soit $G$ un groupe admettant exactement deux sous-groupes : $\{e\}$ et $G$. Cela implique que $G \neq \{e\}$.
    Soit $x \in G \setminus \{e\}$. Considérons le sous-groupe engendré $\langle x \rangle$.
    Puisque $x \neq e$, on a $\langle x \rangle \neq \{e\}$. Par hypothèse, il vient alors nécessairement : \[\langle x \rangle = G\] Le groupe $G$ est donc monogène.

    Si $G$ était infini, il serait isomorphe à $(\mathbb{Z}, +)$. Or, $\mathbb{Z}$ possède une infinité de sous-groupes (de la forme $n\mathbb{Z}$). Ainsi, $G$ est nécessairement fini (donc cyclique).

    Soit $n = |G|$. Si $n$ était un nombre composé, il existerait des entiers $p, q > 1$ tels que $n = pq$. Dans ce cas, l'élément $x^p$ engendrerait un sous-groupe d'ordre $q$, distinct de $\{e\}$ et de $G$, ce qui contredit l'hypothèse. Par conséquent, l'ordre $n$ est un nombre premier.

  • Condition suffisante : Réciproquement, soit $G$ un groupe fini d'ordre premier $p$.
    D'après le théorème de Lagrange, l'ordre de tout sous-groupe $H$ de $G$ divise $p$.
    Puisque $p$ est premier, ses seuls diviseurs positifs sont $1$ et $p$.
    Par conséquent, soit $|H| = 1$ (donc $H = \{e\}$), soit $|H| = p$ (donc $H = G$).

Conclusion : L'équivalence est bien établie.