Condition pour que $s^d$ soit un cycle
Soit $s \in \mathcal{S}_n$ un cycle de longueur $k$ (avec $2 \le k \le n$).
L'élément $s^d$ est un cycle si et seulement si : \[\text{pgcd}(d, k) = 1\]
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Ordre et décomposition de $s^d$ :
Le cycle $s$ Ă©tant de longueur $k$, son ordre dans le groupe $\mathcal{S}_n$ est $k$.
L'ordre de la puissance $s^d$ est donné par la formule classique : \[o(s^d) = \frac{k}{\text{pgcd}(d, k)}\] -
Analyse des orbites :
L'action du sous-groupe engendré par $s^d$ sur le support de $s$ partitionne ce dernier en orbites.
Plus prĂ©cisĂ©ment, l'Ă©lĂ©vation Ă la puissance $d$ scinde le cycle initial en $c = \text{pgcd}(d, k)$ cycles Ă supports disjoints, qui sont tous de mĂȘme longueur $\frac{k}{c}$. -
Conclusion :
Pour que $s^d$ soit une permutation circulaire unique (un seul cycle) et non un produit de plusieurs cycles disjoints, il faut et il suffit qu'il n'y ait qu'une seule orbite sur le support.
Cela Ă©quivaut Ă $c = 1$, soit $\text{pgcd}(d, k) = 1$.