Caractérisation des groupes finis d'ordre premier

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Un groupe $G$ fini dont l'ordre est un nombre premier $p$ possède une structure extrêmement rigide : il est nécessairement cyclique (et donc commutatif), et tout élément distinct de l'élément neutre en est un générateur.

Démonstration :

• Soit $G$ un groupe d'ordre $p$, où $p$ est un nombre premier.


• Puisque $p \ge 2$, le groupe $G$ contient au moins un élément $x$ distinct de l'élément neutre $e$.


• Considérons le sous-groupe $\langle x \rangle$ engendré par cet élément. D'après le théorème de Lagrange, l'ordre du sous-groupe divise l'ordre du groupe : \[|\langle x \rangle| \text{ divise } p\]


• Or, $p$ étant premier, ses seuls diviseurs positifs dans $\mathbb{N}^*$ sont $1$ et $p$.
  Comme $x \neq e$, l'ordre de $\langle x \rangle$ est strictement supérieur à $1$. On en déduit nécessairement que : \[|\langle x \rangle| = p\]


• Le sous-groupe $\langle x \rangle$ est inclus dans $G$ et possède le même cardinal fini. On conclut donc que : \[\langle x \rangle = G\]

Conclusion : Tout groupe d'ordre premier $p$ est cyclique, engendré par n'importe lequel de ses éléments non neutres. Il est isomorphe au groupe additif $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}, +)$.