Une partie finie stable d'un groupe est un sous-groupe

• Exploitation de la finitude : Soit $a \in A$. Par stabilité de $A$ vis-à-vis du produit, on a pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $a^n \in A$.
  Considérons la suite $(a^n)_{n \in \mathbb{N}^*}$. Puisque cette suite prend ses valeurs dans l'ensemble $A$ qui est fini, elle ne peut pas être injective. Il existe donc deux entiers $p$ et $q$ tels que $p > q > 0$ et : \[a^p = a^q\] En multipliant cette égalité par $a^{-q}$ (l'inverse de $a^q$ dans $G$), on obtient : \[a^{p-q} = e\]


• Présence de l'élément neutre : Posons $k = p-q$. Puisque $p > q$, on a $k \ge 1$.
  L'élément $a^k$ s'obtient par produit d'éléments de $A$. Par stabilité, $a^k \in A$. On a donc $e \in A$.


• Stabilité par passage à l'inverse : À partir de $a^k = e$, on peut écrire : \[a \cdot a^{k-1} = e \quad \text{et} \quad a^{k-1} \cdot a = e\]
  • Si $k = 1$, alors $a = e$. Son inverse est $e$, qui est bien dans $A$.
  • Si $k \ge 2$, alors $k-1 \ge 1$. L'élément $a^{k-1}$ est une puissance strictement positive de $a$, donc $a^{k-1} \in A$ par stabilité.
    Or, l'égalité ci-dessus montre que $a^{k-1}$ est l'inverse de $a$. Donc $a^{-1} \in A$.