Les sous-groupes finis de $\mathbb{C}^*$
Soit $G$ un sous-groupe fini de $\mathbb{C}^*$. Notons $n = |G|$ son cardinal (avec $n \ge 1$).

  • Conséquence du cardinal fini :
    D'après le corollaire du théorème de Lagrange, l'ordre de tout élément divise l'ordre du groupe.
    Ainsi, pour tout $x \in G$, on a : \[x^n = 1\]

  • Exploitation de la forme exponentielle :
    Posons $x = r e^{i\theta}$ avec $r > 0$ et $\theta \in \mathbb{R}$. L'équation devient : \[r^n e^{in\theta} = 1\] En identifiant les modules et les arguments, on obtient : \[r^n = 1 \quad \text{et} \quad n\theta \equiv 0 \pmod{2\pi}\] Puisque $r$ est un réel strictement positif, on a nécessairement $r = 1$. L'argument vérifie $\theta = \frac{2k\pi}{n}$ avec $k \in \mathbb{Z}$.
    Ceci démontre que tout élément de $G$ est une racine $n$-ième de l'unité. Autrement dit, $G \subset \mathbb{U}_n$.

  • Conclusion par cardinalité :
    Nous avons établi l'inclusion $G \subset \mathbb{U}_n$.
    Or, le groupe des racines $n$-ièmes de l'unité, $\mathbb{U}_n$, possède exactement $n$ éléments.
    Puisque $|G| = n = |\mathbb{U}_n|$, on en déduit l'égalité : \[G = \mathbb{U}_n\]

Conclusion : Les sous-groupes finis de $\mathbb{C}^*$ sont exactement les groupes $\mathbb{U}_n$ des racines $n$-ièmes de l'unité, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$.