Analyse : Les bijections dérivables forment-elles un sous-groupe ?

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La réponse est non. L'ensemble des bijections dérivables de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ ne forme pas un sous-groupe de $\text{Bij}(\mathbb{R})$ car il n'est pas stable par passage à l'inverse.

• Le contre-exemple classique :

  Considérons la fonction $f$ définie sur le domaine de définition $\mathbb{R}$ par : \[f(x) = x^3\] $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ (avec $f'(x) = 3x^2$) et c'est une bijection de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}$. Elle appartient donc à notre ensemble.



• L'échec de la dérivabilité de la réciproque :

  La bijection réciproque de $f$ est : \[f^{-1}(x) = x^{\frac{1}{3}}\] Or, la dérivée de $f$ s'annule en $0$ ($f'(0) = 0$). D'après le théorème de dérivabilité de la réciproque, $f^{-1}$ n'est pas dérivable en $f(0)=0$ (la courbe admet une tangente verticale à l'origine).

Conclusion : L'élément $f$ appartient à l'ensemble des bijections dérivables, mais son symétrique $f^{-1}$ n'y appartient pas. L'ensemble n'est donc pas un sous-groupe.

L'ensemble des bijections dérivables à dérivée strictement positive forme un sous-groupe

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Soit $H$ l'ensemble des bijections de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$, dérivables et dont la dérivée est strictement positive sur leur domaine de définition $\mathbb{R}$.

• Élément neutre : L'application identité $\text{Id}_{\mathbb{R}}$ est bijective, dérivable sur $\mathbb{R}$ et $\forall x \in \mathbb{R}, \text{Id}_{\mathbb{R}}'(x) = 1 > 0$. Donc $\text{Id}_{\mathbb{R}} \in H$, ce qui assure que $H \neq \emptyset$.


• Stabilité par la loi et passage à l'inverse : Soient $f, g \in H$. Montrons que $f \circ g^{-1} \in H$.
  Puisque $g \in H$, on a $\forall x \in \mathbb{R}, g'(x) > 0$. La dérivée $g'$ ne s'annulant jamais, le théorème de dérivabilité de la bijection réciproque assure que $g^{-1}$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.
  De plus, en appliquant la formule de la dérivée de la fonction composée à $f \circ g^{-1}$, on obtient pour tout $x \in \mathbb{R}$ : \[(f \circ g^{-1})'(x) = f'(g^{-1}(x)) \times (g^{-1})'(x)\] Sachant que $(g^{-1})'(x) = \frac{1}{g'(g^{-1}(x))}$, l'expression devient : \[(f \circ g^{-1})'(x) = \frac{f'(g^{-1}(x))}{g'(g^{-1}(x))}\] Comme $f'$ et $g'$ prennent des valeurs strictement positives sur $\mathbb{R}$, ce quotient est strictement positif pour tout $x$.
  L'application $f \circ g^{-1}$ est donc une bijection dérivable à dérivée strictement positive. Ainsi, $f \circ g^{-1} \in H$.

Conclusion : L'ensemble étudié est bien un sous-groupe de $(\text{Bij}(\mathbb{R}), \circ)$. En ajoutant la condition stricte sur le signe de la dérivée, on contourne le problème des points d'annulation de la dérivée qui empêchaient la stabilité par passage à l'inverse.