• Exemple 1 : Le groupe quotient $(\mathbb{Q}/\mathbb{Z}, +)$
    L'ensemble $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ est manifestement infini.
    Soit $\bar{x} \in \mathbb{Q}/\mathbb{Z}$. Il admet un représentant rationnel $x = \frac{p}{q}$ avec $p \in \mathbb{Z}$ et $q \in \mathbb{N}^*$.
    On a alors $q \bar{x} = \overline{q \frac{p}{q}} = \bar{p} = \bar{0}$.
    L'ordre de tout élément $\bar{x}$ divise donc $q$ et est nécessairement fini.

  • Exemple 2 : Le groupe des polynômes $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}[X], +)$
    En tant que $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$-espace vectoriel de dimension infinie, ce groupe est infini.
    Pourtant, la caractéristique du corps de base étant $2$, pour tout polynôme $P \in \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}[X]$, on a $P + P = 0$.
    Ainsi, tout élément non nul est exactement d'ordre $2$ (ce qui fournit au passage un exemple infini pour votre exercice précédent sur la commutativité).
  • Exemple 3 : L'ensemble des parties d'un ensemble infini
    Considérons $G = (\mathcal{P}(\mathbb{N}), \Delta)$, où $\Delta$ désigne la différence symétrique.
    Il s'agit clairement d'un groupe infini. Son élément neutre est l'ensemble vide $\emptyset$.
    Pour toute partie $A \in \mathcal{P}(\mathbb{N})$, on a : \[A \Delta A = \emptyset\] Chaque élément est donc son propre symétrique.