• ÉlĂ©ment neutre : Soit $e$ l'Ă©lĂ©ment neutre de $G$.
    On a trivialement $\forall h \in G, eh = he = h$. Donc $e \in Z(G)$, ce qui assure que $Z(G) \neq \emptyset$.

  • StabilitĂ© par la loi et passage Ă  l'inverse : Soient $x, y \in Z(G)$. Montrons que $xy^{-1} \in Z(G)$.
    Soit $h \in G$. Puisque $y \in Z(G)$, on a $yh = hy$. En multipliant Ă  gauche et Ă  droite par $y^{-1}$, il vient : \[y^{-1}h = hy^{-1}\] On a alors : \[(xy^{-1})h = x(y^{-1}h) = x(hy^{-1}) = (xh)y^{-1} = (hx)y^{-1} = h(xy^{-1})\] Ainsi, $xy^{-1}$ commute avec tout Ă©lĂ©ment $h \in G$, d'oĂč $xy^{-1} \in Z(G)$.

Conclusion : $Z(G)$ est un sous-groupe de $G$.