Examen National 2022 Session de Rattrapage

1. Montrer que $137$ est un nombre premier
2. Déterminer un couple $(u,v)$ de $\mathbb{Z}^2$ tel que : $38u + 136v=2$
3. Soit $x\in\mathbb{Z}$ tel que : $x^{136}\equiv 1\pmod{137}$
   1. Montrer que : $x$ et $137$ sont premiers entre eux.
   2. Montrer que : $x^{136}=1\pmod{137}$
   3. Montrer que : $x^2=1\pmod{137}$
4. Résoudre dans $\mathbb{Z}$ l'équation $(E) : x^{19}=1\pmod{137}$