Examen National 2020 Session de Rattrapage

Soient $p$ et $q$ deux nombres premiers vérifiant : \[p\lt q \quad \text{et} \quad 9^{p+q-1}\equiv 1\pmod{pq}\]

1. 1. Montrer que $p$ et $9$ sont premiers entre eux.
   2. En déduire que : $9^{p-1}\equiv 1\pmod p$ et $9^q\equiv 1\pmod q$
2. 1. Montrer que $p-1$ et $q$ sont premiers entre eux
   2. En utilisant le théorème de Bézout, montrer que : $p=2$
3. 1. En utilisant le théorème de Fermat, montrer que : $9^{q-1}\equiv 1\pmod q$
   2. En déduire que : $q=5$