Exercice

1. Soit $(p,q)\in \mathbb{Z}^2$ tel que : $p\land q=1$.
   1. Montrer que pour tout $(a,b)\in\mathbb{Z}^2$, le système : \[ (S)\begin{cases} x=a\pmod p \\ x=b\pmod q \end{cases} \] admet au moins une solution dans $\mathbb{Z}$.
   2. Montrer que si $x$ et $y$ sont deux solutions de $(S)$ alors : $x=y\pmod{pq}$
   3. Soit $x_0$ une solution particulière de $(S)$. Résoudre le système $(S)$.

2. Application :

   Résoudre dans $\mathbb{Z}$ les systèmes suivants : \[ (S_1)\begin{cases} x=4\pmod 6 \\ x=2\pmod{11} \end{cases} \qquad (S_2)\begin{cases} x=3\pmod n \\ x=5\pmod{n+1} \end{cases} \]