On considère le polynôme : \[ P(X)=4X^3-3X^2-8X+6=0\qquad (\mathcal{E}) \] On suppose que ce polynôme admet une racine rationnelle non entière.
On pose : $r=\dfrac{p}{q}$ avec $p\land q=1$ et $(p,q)\in\mathbb{Z}^*\times \mathbb{Z}^*_+$
  1. Montrer que l'on doit avoir : \[ \begin{cases} p\mid 6\\ q\mid 3\\ p\land q=1 \end{cases} \]
  2. Montrer que l'on doit avoir a priori : \[ \begin{cases} p\in\{1,3\} \\ q\in\{2,4\} \end{cases} \]
  3. Montrer en substituant $r$ dans l'équation que l'on doit avoir : \[ \begin{cases} p=0\pmod 3\\ q=0\pmod 4 \end{cases} \]
  4. En déduire la valeur de $r$
  5. Résoudre alors l'équation $(\mathcal{E})$