Examen National Session de Rattrapage 2022 (Maroc):

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\vec{u},\vec{v})$, on considère les points $A, B$ et $C$ d'affixes respectives $Z_A=1+5i, Z_B=1-5i, Z_c=5-3i$

1. Déterminer le nombre complexe $Z_D$ affixe du point $D$ milieu du segment $[AC]$
2. Soit $h$ l'homothétie de centre $A$ et de rapport $\frac{1}{2}$.
   Déterminer le nombre complexe $Z_E$ affixe du point $E$, l'image de $B$ par $h$
3. On considère la rotation $R$ de centre $C$ et d'angle $(-\frac{\pi}{2})$, déterminer l'image de $B$ par $R$
4. Soit $F$ le point d'affixe $Z_F=-1+i$
   1. Vérifier que $\frac{Z_D-Z_A}{Z_F-Z_A}\times \frac{Z_F-Z_E}{Z_D-Z_E}=-1$
   2. En déduire que $\widehat{(AF,AD)}+\widehat{(ED,EF)}=\pi [2\pi]$
   3. Déterminer la forme trigonométrique du nombre $\frac{Z_E-Z_F}{Z_A-Z_F}$ et déduire la nature du triangle $AEF$
   4. Déduire que les points $A, D, E$ et $F$ appartiennent à un cercle dont on déterminera un diamètre.