Examen National Session de rattrapage 2021

$m$ est un nombre complexe différent de $2$ et de $-i$
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\vec{u},\vec{v})$
On considère dans l'ensemble $\mathbb{C}$ l'équation d'inconnue $z$ : \[ (E):\quad z^2-(m-i)z-im=0 \]

    1. Vérifier que le discriminant de l'équation $(E)$ est $(m+i)^2$
    2. Déterminer $z_1$ et $z_2$ les deux solutions de $(E)$.
    3. Sachant que $m=e^{i\frac{\pi}{8}}$ écrire le nombre $z_1+z_2$ sous forme exponentielle.
  2. On considère les points $A, B$ et $M$ d'affixes respectifs $2, -i$ et $m$ et soit $M'$ le symétrique de $M$ par rapport à l'axe imaginaire.
    1. Déterminer en fonction de $m$ l'affixe de $M'$
    2. Déterminer en fonction de $m$ l'affixe de $N$ tel que le quadrilatère $ANM'B$ soit un parallélogramme.
    3. Montrer que les deux droites $(AM)$ et $(BM')$ sont perpendiculaires si et seulement si $\Re e((2-i)m)=\Re e(m^2)$