Correction de l'exercice

L'expérience consiste à tirer au hasard une balle parmi $n$ balles strictement identiques. Nous sommes donc dans une situation d'équiprobabilité. L'univers $\Omega$ compte $n$ issues possibles.

1. Loi de probabilité de $X$

   Chaque balle ayant la même probabilité d'être choisie, la probabilité de tirer la balle portant le numéro $a_i$ (pour tout entier $i$ tel que $1 \leq i \leq n$) est de :

   \[ P(X = a_i) = \frac{1}{n} \]



2. Calcul de l'espérance $E(X)$

   Par définition, l'espérance mathématique d'une variable aléatoire discrète est la somme des produits des valeurs possibles par leurs probabilités respectives :

   \[ E(X) = \sum_{i=1}^{n} a_i \times P(X = a_i) \]

   En remplaçant la probabilité par sa valeur $\frac{1}{n}$ :

   \[ E(X) = \sum_{i=1}^{n} a_i \times \frac{1}{n} \]

   Comme $\frac{1}{n}$ est un facteur constant indépendant de l'indice $i$, on peut le factoriser en dehors de la somme :

   \[ E(X) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} a_i \]

   On retrouve exactement la formule de la moyenne arithmétique des nombres $a_1, a_2, \dots, a_n$.