Correction de l'exercice

Pour former cette équipe, le choix des filles et le choix des garçons s'effectuent indépendamment. On dénombrera donc les possibilités pour chaque groupe avant d'appliquer le principe multiplicatif.

1. Choix des filles

   Il n'y a aucune contrainte particulière. Il faut choisir $2$ filles parmi les $5$ de la classe. L'ordre n'ayant pas d'importance, il s'agit d'une combinaison :

   \[ C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \times 4}{2} = 10 \text{ possibilités} \]



2. Choix des garçons (avec contrainte)

   Il faut choisir $3$ garçons parmi $7$, mais les garçons $A$ et $B$ refusent d'être dans la même équipe. On procède par la méthode du complémentaire :

   1. 1. Équipes de garçons possibles (sans contrainte) :

         Choisir $3$ garçons quelconques parmi les $7$ :

         \[ C_7^3 = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35 \text{ possibilités} \]
      
      

      2. Équipes de garçons interdites (A et B sont ensemble) :

         Si l'on force $A$ et $B$ à être dans l'équipe, il ne reste plus qu'à choisir $1$ seul garçon pour compléter l'équipe parmi les $5$ restants :

         \[ C_5^1 = 5 \text{ possibilités} \]
      
      

      3. Équipes de garçons valides :

         On retranche les cas interdits au total :

         \[ 35 - 5 = 30 \text{ possibilités} \]



3. Bilan (Principe multiplicatif)

   À chaque groupe de filles valide correspond l'ensemble des groupes de garçons valides. On multiplie les deux résultats :

   \[ \text{Total} = 10 \times 30 = 300 \]

   Il y a donc exactement $300$ façons de former une équipe respectant toutes ces conditions.

Autre méthode : Construction directe par disjonction des cas

Cette approche consiste à construire directement les équipes valides en isolant les deux garçons "à problème" ($A$ et $B$) des $5$ autres garçons "neutres".

1. Choix des filles

   Le choix reste indépendant : on sélectionne $2$ filles parmi $5$.

   \[ C_5^2 = 10 \text{ possibilités} \]



2. Choix des garçons (Disjonction des cas)

   On doit choisir $3$ garçons au total. On sépare l'analyse en deux situations incompatibles :

   1. 1. L'équipe ne contient ni A ni B :

         On choisit l'intégralité des $3$ garçons parmi les $5$ garçons "neutres".

         \[ C_5^3 = 10 \text{ possibilités} \]
      
      

      2. L'équipe contient exactement l'un des deux (A ou B) :

         On choisit d'abord lequel des deux intègre l'équipe ($2$ possibilités). Il faut ensuite compléter l'équipe en choisissant $2$ garçons parmi les $5$ "neutres".

         \[ 2 \times C_5^2 = 2 \times 10 = 20 \text{ possibilités} \]

   Le nombre total d'équipes de garçons valides s'obtient en sommant ces deux cas :

   \[ C_5^3 + 2 \times C_5^2 = 10 + 20 = 30 \text{ possibilités} \]



3. Bilan (Principe multiplicatif)

   On multiplie les combinaisons de filles par les combinaisons de garçons :

   \[ \text{Total} = C_5^2 \times \left( C_5^3 + 2 C_5^2 \right) = 10 \times 30 = 300 \]

   On retrouve bien nos $300$ équipes possibles.