Pour dĂ©terminer le nombre total de chemins de $A$ vers $D$ sans cycle (sans repasser par une mĂȘme ville), on recense les itinĂ©raires macroscopiques possibles, puis on applique le principe multiplicatif pour chaque itinĂ©raire, et enfin le principe additif entre eux.

  1. Analyse du graphe (connexions directes)
    • Entre $A$ et $B$ : $4$ routes
    • Entre $A$ et $C$ : $3$ routes
    • Entre $B$ et $C$ : $3$ routes
    • Entre $B$ et $D$ : $5$ routes
    • Entre $C$ et $D$ : $2$ routes

  2. Dénombrement par itinéraire

    1. Trajet direct via B ($A \to B \to D$) :

      A B C D 4 routes 5 routes
      \[ 4 \times 5 = 20 \text{ chemins} \]

    2. Trajet direct via C ($A \to C \to D$) :

      A B C D 3 routes 2 routes
      \[ 3 \times 2 = 6 \text{ chemins} \]

    3. Trajet en zigzag vers le bas ($A \to B \to C \to D$) :

      A B C D 4 routes 3 routes 2 routes
      \[ 4 \times 3 \times 2 = 24 \text{ chemins} \]

    4. Trajet en zigzag vers le haut ($A \to C \to B \to D$) :

      A B C D 3 routes 3 routes 5 routes
      \[ 3 \times 3 \times 5 = 45 \text{ chemins} \]

  3. Bilan (Principe additif)

    Ces quatre itinéraires étant incompatibles, on additionne le nombre de chemins de chaque sous-cas :

    \[ \text{Total} = 20 + 6 + 24 + 45 = 95 \]

    Il existe donc exactement $95$ chemins différents.