1. Diagramme de Venn

    Pour construire le diagramme, on affecte les cardinaux en partant de l'intersection des trois ensembles vers l'extérieur :

    • Intersection centrale : $\text{Card}(A \cap B \cap C) = 5$
    • ÉlĂ©ments appartenant exclusivement Ă  $A$ et $B$ : $13 - 5 = 8$
    • ÉlĂ©ments appartenant exclusivement Ă  $A$ et $C$ : $12 - 5 = 7$
    • ÉlĂ©ments appartenant exclusivement Ă  $B$ et $C$ : $14 - 5 = 9$
    • ÉlĂ©ments appartenant exclusivement Ă  $A$ : $35 - (8 + 7 + 5) = 15$
    • ÉlĂ©ments appartenant exclusivement Ă  $B$ : $40 - (8 + 9 + 5) = 18$
    • ÉlĂ©ments appartenant exclusivement Ă  $C$ : $45 - (7 + 9 + 5) = 24$
    A B C 15 18 24 8 7 9 5

  2. Calcul de la probabilité

    Soit l'univers $\Omega = A \cup B \cup C$. Calculons son cardinal à l'aide de la formule du crible de Poincaré :

    \[ \text{Card}(A \cup B \cup C) = \text{Card}(A) + \text{Card}(B) + \text{Card}(C) - \text{Card}(A \cap B) - \text{Card}(A \cap C) - \text{Card}(B \cap C) + \text{Card}(A \cap B \cap C) \] \[ \text{Card}(\Omega) = 35 + 40 + 45 - 13 - 12 - 14 + 5 \] \[ \text{Card}(\Omega) = 120 - 39 + 5 = 86 \]

    L'expérience consiste à tirer au hasard un nombre de cet univers. La probabilité qu'il appartienne à l'ensemble $A$ est :

    \[ P(A) = \frac{\text{Card}(A)}{\text{Card}(\Omega)} = \frac{35}{86} \]