Solution de l'exercice D23

1. Existence de $\alpha, \beta, \gamma$

   D'après le théorème de Rolle appliqué à $P$ sur $[x,y]$, $[y,z]$ et $[z,t]$, il existe $\alpha \in ]x,y[$, $\beta \in ]y,z[$ et $\gamma \in ]z,t[$ tels que $P'(\alpha)=P'(\beta)=P'(\gamma)=0$.

2. Existence de $e$ et $f$

   D'après le théorème de Rolle appliqué à $P'$ sur $[\alpha,\beta]$ et $[\beta,\gamma]$, il existe $e \in ]\alpha,\beta[$ et $f \in ]\beta,\gamma[$ tels que $P''(e)=P''(f)=0,~$ absurde ! car:
   
   $$P''(X) = n(n-1)X^{n-2}$$ ne s'annule qu'en $0$.
   L'existence de deux racines distinctes pour $P''$ est impossible.
   Donc $P$ a au plus 3 racines réelles.