1. On a: $$b^3+3b^2+4b+1=519$$ Ce qui implique: $$(b^3+3b^2+3b+1)+b=519$$ Qu'on peut aussi modifier comme suit: $$(b+1)^3+(b+1)=520$$ En factorisant: $$(b+1)\left(~(b+1)^2+1~\right)=520\qquad (1)$$ Avant de continuer on a besoin d'une proposition:

    Proposition:

    Soit: $~~x\in\mathbb Z~~$ alors les propositions suivantes sont vraies
    • $x~~$ et $~~x^2+1~~$ ont des parités différentes.
    • $x(x^2+1)=0\mod 8\Rightarrow x=0\mod 8$

    Démonstration:
    1. La première proposition est facile.
    2. On sait que un et un seul nombre parmi $~~x~~$ et $~~(x^2+1)~~$ est pair.
      Donc si: $~~ x(x^2+1)=0\mod 8~~$ alors on a:
      ou bien $~~(x=0\mod 8)~~$ ou bien $~~(~x^2+1=0\mod 8~)$
      Or: $x^2+1=0\mod 8\Longrightarrow x^2=7\mod 8~~$ ce qui est impossible car un carré doit être dans l'une classe modulo 8:$~~ \{\bar 0;\bar 1;~\bar 4\}~~$
      Par conséquent on a: $$x(x^2+1)=0\mod 8\Rightarrow x=0\mod 8$$
    C.Q.F.D

    Revenons maintenant à l'équation (1):

    On a: $$520=5\times 8\times 13$$ Et donc: $$(b+1)((b+1)^2+1)=0\mod 8$$ D'après le lemme précédent on a: $$(b+1)=0\mod 8$$ Et puisque: $~~0<(b+1)<(b+1)^2+1~~$, alors la seule possibilité est: $~~b+1=8~~$
    On trouve donc:
    $$\Rightarrow b=7$$
  2. Posons: $~~n=519$
    On a: $$11^2\lt n \lt 11^3$$ Ce qui implique:
    $$n=(abc)_{11}$$
    $$a=\left\lfloor \dfrac{n}{11^2}\right\rfloor$$ $$\Longrightarrow a=4$$ Et donc $$ (bc)_{11}=n-4\times 11^2$$ Soit: $$(bc)_{11}=35=33+2=3\times 11 +2 $$ Soit $~~b=3~~$ et $~~c=2~~$
    Enfin: $$~~519=(432)_{11}$$