Soit $~~n\in \mathbb N^*$.
  1. En effectuant la division euclidienne de $(5n^3-n)~~$ par $~~(n+2)~~$ on trouve: $$(5n^3-n)=(5n^2-10n+19)(n+2)-38$$ - si $~~d~~$ est un diviseur commun à $~~(5n^3-n)~~$ et $~~(n+2)~~$ alors:
    $d~~$ doit aussi diviser $~~38=(5n^2-10n+19)(n+2)-(5n^3-n)~~$ et par la suite d est aussi un diviseur commun de $~~(n+2)~~$ et $~~38$.
    - d'autres part; si $~~d~~$ est un diviseur commun à de $~~(n+2)~~$ et $~~38~~$ alors:
    $d~~$ doit aussi diviser $~~(5n^3-n)=(5n^2-10n+19)(n+2)-38$
    Ce qui veut dire que l'ensemble diviseur communs de $(~(5n^3-n)~~$ et $~~(n+2)~)~~$ est égal à l'ensemble des diviseurs communs de $~~((n+2)~~$ et $~~38~)$
    Et par la suite on a: $$(5n^3-n)\land(n+2)=(n+2)\land (38)$$
  2. On a: $~~(5n^3-n)\land(n+2)=19$
    ce qui est équivalent d'après la question précédante à:
    $(n+2)\land 38=19$
    $\Rightarrow (n+2)=19k~~$ (avec $k$ impair car sinon $(n+2)\land 38$ serait $38$ )
    $\Rightarrow n=19(2m+1)-2$
    L'ensemble $S$ des solution est donc: $$S=\{~ n=38m+17 :\qquad m\in\mathbb N~\}$$