On rappelle l'identité de Bezout:

Theorème:

Deux entiers relatifs \(~a~\) et \(~b~\) sont premiers entre eux si et seulement si, il existe \(~(u,v)\in \mathbb Z^2~\) tels que: $$~~au+bv=1 $$.
  1. Cas: \(~~a=n+1\qquad \mbox{et}\qquad b=n\)
  2. on va utiliser l'algorithme d'Euclide:
    on traite le cas: \(~~n \geq 2\). \begin{array}{lllllll} \color{magenta}{(2n+2)} & = & 1 & \times & \color{magenta}{(2n)} & + & \color{magenta}{2}\\ \color{magenta}{(2n)} & = & n & \times & \color{magenta}{2} & + & \color{magenta}{0} \end{array}

    Donc le pgcd(\(~2n+2,2n~\)) est le dernier reste non nul à savoir 2.
  3. On va utiliser à nouveau l'identité de Bezout:
    $$ (n^2+1)-n\times n=1~~ (~(u,v)=(1,-n): $$ Ceci prouve que: $$ (n^2+1)\land n=1$$