1. On a: $~~x^3-x=x(x^2-1)=(x-1)x(x+1)=0\mod 3~~$
    car c'est le produit de 3 nombres consécutifs; et donc nécessairement l'un d'entre eux est un multiple de 3.
  2. On a: $~~56=5\times 11 +1~~\Rightarrow 56=1\mod 11$
    Et par conséquent: $56^{2023}=1^{2023}=1\mod 11$
    $\Rightarrow 56^{2023}-1=0\mod 11$

    Ce qui veut dire que $~~56^{2023}-1~~$ est divisible par $~~11$
  3. On a: $2222=2\mod 5\qquad 3333=3\mod 5$
    $2^4=16=1\mod 5~~$ et $~~ 3^4=81=1\mod 5$
    Effectuons la division euclidienne de $3333$ par 4:
    $3333=4\times 833 +1$
    $\Rightarrow 2^{3333}=2^{4\times 833 + 1}=2^{4\times 833}\times 2^1=(2^4)^{833}\times 2=1^{833}\times 2=2\mod 5$

    Effectuons la divisions euclidienne de $2222$ par $4$

    $2222=4\times 555 +2$
    $\Rightarrow 3^{2222}=3^{4\times 555 + 2}=3^{4\times 555}\times 3^2=(3^4)^{555}\times 3^2=1^{555}\times 3^2=4\mod 5$

    $\Rightarrow 3333^{2222}+2222^{3333}=3^{2222}+2^{3333}=2+4=1\mod 5$
    Finalement: $$3333^{2222}+2222^{3333}=1\mod 5$$
  4. On rappelle l'identité remarquable suivante:
    $a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots + b^{n-1})$
    cette relation montre que si $~~a~~$ et $~~b~~$ sont des entiers relatifs, alors $~~(a-b)~~$ divise $~~(a^n-b^n)$
    On va appliquer ce résultat à notre cas:
    $(3^{2n}-2^n)=(9^n-2^n)~\Rightarrow~ (9-2)|(9^n-2^n)\qquad$ (d'après ce qui précède.)
    $\Rightarrow 7|(3^{2n}-2^n)$
  5. On va utiliser 2 méthode différentes:

    1. Première méthode:

      pour $n=1$ on a:
      $3\times 5^{2\times 1-1}+2^{3\times 1-2}=17=0\mod 17$ la propriété est vérifiée.
      Supposons maintenant que: $n\geq 2$
      $3\times 5^{2n-1}=15\times 5^{2n-2}=15\times 5^{2(n-1)}=-2\times 5^{2(n-1)} ~~$ (car $~~15=-2\mod 17$)
      De plus on a:
      $5^{2(n-1)}=25^n=8^{n-1}~~$ (car: $25=8\mod 17$)
      $2^{3n-2}=2\times 2^{3(n-1)}=2\times 8^{n-1}$

      Et Donc: \begin{align*} 3\times 5^{2n-1}+2^{3n-2}&=15\times 8^{n-1}+2\times 8^{n-1}\\ &=(15+2)\times 8^{n-1}\\ &=17\times 8^{n-1}\\ &=0\mod 17 \end{align*} Donc:
      $3\times 5^{2n-1}+2^{3n-2}$ est divisible par $17$

    2. Deuxième méthode:

      La vérification pour $~n=1~$ est déjà faite.
      Supposos la propriété est vrai à l'ordre $n$
      Posons: $a_n=3\times 5^{2n-1}+2^{3n-2}$
      l'hypothèse de la récurrence: $~~a_n=0\mod 17$
      On a:
      \begin{align*} a_{n+1}&=3\times 5^{2n+1}+2^{3n+1}\\ &=5^2\times (3\times 5^{2n-1}) + 2^3\times (2^{3n-2}) \end{align*} On remarque que:
      $5^2=2^3=8\mod 17$
      $\Rightarrow a_{n+1}= 8a_n=0 \mod 17$
      ce qui prouve que $a_{n+1}$ est divisible par $17$

      Donc la propriété est vraie pour tout $~~n$